2.1 数制与编码

2.1.1 进位计数制与相互转换

1、进位计数法

基数：每个数位所要用到的不同符号的个数（二进制就是2个、8进制就是8个、十进制就是10个...）。

基数越大，位数越小，运算情况越多。

位权：依据进制所决定的一个常数（二级制就是2，十进制就是10...）

一个r进制数的数值可以表示为：

$$\sum_{i=n}^{-m}K_{i}r^{i}=K_{n}r^{n} +K_{n-1}r^{n-1}...+K_{0}r^{0}+K_{-1}r^{-1}+ ...+K_{-m}r^{-m}$$

• r：基数

• $r^{i}$ ：第i位的位权

• $K_{i}$ ：可以取0~（r-1）中的任意数

• 整数最低位为第0位，小数为负数位

N位r进制的数所能表示的数字个数为：$r^N$个

2、进制转换

（一）、任意进制 --> 十进制

用相应位上的数乘以位权即可。

二进制：101.1 --> $1*2^{2} + 0*2^{1} + 1 * 2^{0} + 1 *2^{-1} = 5.5$

八进制：5.4 --> $5*8^{0} + 4* 8^{-1} = 5.5$

十六进制：5.8 --> $5 * 16^{0} + 8 * 16 ^{-1} = 5.5$

（二）、十进制 --> 任意进制

例：将十进制123.6875转化为二进制

1、除基取余法（整数）

对整数部分的处理使用短除法，并从下向上，得1111011

2、乘基取整法（小数）

小数部分采用乘基取整的思路，如下所示：

$$\begin{array}{r} 0.6875\\ *\qquad \quad 2\\ \hline 1.3750\\ 0.3750\\ *\qquad \quad 2\\ \hline 0.7500\\ *\qquad \quad 2\\ \hline 1.5000\\ 0.5000\\ *\qquad \quad 2\\ \hline 1.0000\\ .... \end{array} \begin{array}{l} \qquad\\\qquad\\\qquad1 \qquad 最高位\\ \\ \\\qquad0\\ \\\qquad1\\ \\ \\\qquad1\qquad 最低位\\\qquad...\\ \end{array}$$

一般十进制无法精确化为二进制小数，取一定精度即可。

（二）、 $2^{n}$ 进制之间的转换

每n位一组，进行对应的转换即可。

例1：将3C2.68H转化为2进制

$\underline{0011}\;\underline{1100} \;\underline{0010} . \underline{0110} \;\underline{1000} \\ \quad 3\quad \;\; C\quad\;\;\ 2\;\ .\quad6 \quad\;\;8$

即：3C2.68H=1111000010.01101B

例2：将1111000010.01101B转化为八进制

$\underline{001} \;\underline{111} \;\underline{000} \;\underline{010} .\underline{011} \;\underline{010} \;\\\;\;1\quad\;7\quad\;0\quad\;2\;\;.\;\;3\quad\;2$

即：1111000010.01101B= $(1702.32)_{8}$

2.1.2 BCD码

BCD（Binary-Coded Decimal），使用二进制表示的十进制数。即使用四位二进制数表示一位十进制数，使得十进制与二进制之间的转换得以快速进行。

1、8421码

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

使用8421码进行运算时，若结果大于等于10，需要加6修正（加0110）。

例：

\begin{align} 4+9 &= 0100B + 1001B\\&=1101B (+0110B) \\&= 10011B\\ &=13 \end{align}

2、余三码

将8421码的每一位加3（即加0011B）得到。

3、2421码

将最高位的权值改为2，特点是大于5的四位二进制码最高位是1，小于5的是0.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	1011	1100	1101	1110	1111

2.1.3 字符与字符串

1、ASCII码

• 32~126位称为可印刷字符

• A-Z，a-z是连续的，但是Z和a之间不连续

• 以字节的形式存储

例：已知'A'的ASCII码码值是65，H存放在某存储单元M中，求M中存放的值

65+(8-1)=72

72 = 0100 1000

2、字符串

字符串：IF_ _A>B THEN READ(C) ，每个存储单元存放4B

大端模式：存储单元内先存储高位字节、后存储低位字节的顺序

大端方式是正常的

I	F	空格	A
>	B	空格	T
H	E	N	空格
R	E	A	D
(	C	)	空格

小端模式：存储单元内先存储低位字节、后存储高位字节的顺序

A	空格	F	I
T	空格	B	>
空格	N	E	H
D	A	E	R
空格	)	C	(

3、汉字编码

包括输入的输入编码，计算机内部处理的汉字内码和输出的汉字字形码三种。

2.1.4 校验码

码距：任意两个合法码字之间不同的二进制的位数。

• 码距大于等于2时，开始具有检错能力

• 码距越大，纠错、检错能力越强

1、奇偶校验码

添加一个校验位，校验位的取值满足以下规定：

奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为奇数。

偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为偶数。

即在有效信息的前面添加1或者0即可。

2、海明校验码

• 若信息位的位数为n，海明码的位数为k ，则有：

$$2^{k} \geq n + k + 1\tag{1}$$

• 将校验位依次放在位于 $2^{i-1}$ 位上，并将信息位按照顺序填入剩下的位置
• 海明码的取值相当于将各数据位的第i组的所有位求异或

• 每个校验组分别用校验位和参与计算校验位的信息位进行奇偶校验，并得到响应结果。

例：求1010的海明码

1、确定位数

因为 n=4，则由（1）计算得 k=3

则，设信息位 $D_{4}D_{3}D_{2}D_{1}(1010)$ ，共4位，校验位 $P_{3}P_{2}P_{1}$ ， 共3位，对应的海明码为 $H_{7}H_{6}H_{5}H_{4}H_{3}H_{2}H_{1}$ 。

2、确定校验位的分布

• 将校验码放在$2^{i-1}$位置上

$H_{7}$	$H_{6}$	$H_{5}$	$H_{4}$	$H_{3}$	$H_{2}$	$H_{1}$
			$P_{3}$		$P_{2}$	$P_{1}$

• 将信息位填入剩下的位置

$H_{7}$	$H_{6}$	$H_{5}$	$H_{4}$	$H_{3}$	$H_{2}$	$H_{1}$
$D_{4}$	$D_{3}$	$D_{2}$	$P_{3}$	$D_{1}$	$P_{2}$	$P_{1}$
1	0	1		0

3、求校验位的值

先将信息位的海明位号表示为二进制，再对相应组含有1的求异或

$$P_{1}=D_{1}\oplus D_{2}\oplus D_{4}=0 \oplus 1 \oplus 1=0\\ P_{2}=D_{1}\oplus D_{3}\oplus D_{4}=0 \oplus 0 \oplus 1=1\\ P_{3}=D_{2}\oplus D_{3}\oplus D_{4}=1 \oplus 0 \oplus 1=0\\$$

因此有

$H_{7}$	$H_{6}$	$H_{5}$	$H_{4}$	$H_{3}$	$H_{2}$	$H_{1}$
$D_{4}$	$D_{3}$	$D_{2}$	$P_{3}$	$D_{1}$	$P_{2}$	$P_{1}$
1	0	1	0	0	1	0

4、纠错

将校验码和与之相应的数据位进行异或，应当全部为0。

$$P_{1}\oplus D_{1}\oplus D_{2} \oplus D_{4}=0\\ P_{2}\oplus D_{1}\oplus D_{3} \oplus D_{4}=0\\ P_{3}\oplus D_{2}\oplus D_{3} \oplus D_{4}=0$$

得1则说明有错。

3、循环冗余校验码

循环冗余校验码包括K位数据位和R位校验位。

例：已知生成多项式 $G(x) = x^{3} +x^{2}+1$ ，信息码为101001，求对应的CRC码

1、确定K、R及生成多项式对应的二进制码

• K = 7

• R = 生成多项式的最高次幂 = 3

  • 则，CRC码的位数 = K + R = 10

• 生成多项式的各次幂的系数就是对应的二进制码：1101（没有x，故第二位为0）

2、移位

将信息码左移R位，低位补0

101001000

3、模2相除

将 左移后的信息码 除以 生成多项式的二进制码。

每一次相减时，相同得0，不相同得1，没有借位。

最后的余数就是校验位

因此，CRC码 = 101001 001

4、检错

对于CRC码再次用生成多项式的二进制码进行模2除法，余数应为000。