# 2.2 定点数的表示与运算
## 2.2.1 定点数的表示
### 1、无符号数和有符号数
**无符号数**：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的**绝对值**。
n位无符号数的表示范围是 $$0 \sim 2^{n}-1$$
#### 有符号数
* **真值**：该数字的实际值，包含正负；
* **机器数**：用数字表示正负号的二进制数
* **定点小数**：约定符号位后面就是小数点
* +0.75D = 0.11B
* -0.75D =1.11B
* n位尾数的定点小数的表示范围： $$-(1- 2^{-n}) \sim (1- 2^{-n})$$
* **定点整数**：约定小数点在数值的最后
* +3D = 011.B
* -3D = 111.B
* n位尾数的定点整数的表示范围：$$-(2^{-n}-1) \sim (2^{-n}-1)$$
### 2、原码、补码、反码、移码
{% hint style="warning" %}
整数的“，”和小数的“.”都是用于表示分割，在计算机中实际不存在
{% endhint %}
#### （1）原码
**用最高位表示符号位**，设 x 为真值，则有：
纯小数的原码：
$$
\[x]\_{\text {原 }}= \begin{cases}x & 1>x \geqslant 0 \ 1-x=1+|x| & 0 \geqslant x>-1\end{cases}
$$
纯整数的原码（n为整数位数）：
$$
\[x]\_{\text {原 }}= \begin{cases}0, x & 2^{n}>x \geqslant 0 \ 2^{n}-x=2^{n}+|x| & 0 \geqslant x>-2^{n}\end{cases}
$$
若字长为n+1位，则原码的**表示范围**：$$-(2^n-1)\leq x \leq 2^n-1$$
#### （2）补码
* 正数的补码：补码与原码相同
* 负数的补码：原码符号位不变，数值位取反，末位加1
* 当一个正数和一个负数互为补数时，他们的绝对值之和称为**模数**。
* 类似于时钟，+2 = -10，12为模数
* $$\[+0]\_补=\[-0]\_补=0.0000$$
纯小数的补码：
$$
\[x]\_{\text {补}}=\left{\begin{array}{ll} x & 1>x \geqslant 0 \2+x=2-|x| & 0 > x \geqslant-1 \end{array} \quad\left(\bmod 2\right)\right.
$$
纯整数的补码
$$
\[x]\_{\text {补}}=\left{\begin{array}{ll} 0, x & 2^{n}>x \geqslant 0 \ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x| & 0 \geqslant x \geqslant-2^{n} \end{array} \quad\left(\bmod 2^{\mathrm{n}+1}\right)\right.
$$
若字长为n+1位，则补码的**表示范围**：$$-2^n\leq x \leq 2^n-1$$
#### （3）反码
* 正数的反码：反码与原码相同
* 负数的反码：原码符号位不变，数值位取反
#### （4）移码
移码就是在真值X上加上一个常数(偏置值) ，通常这个常数取 $$2^{n}$$ 。
> 例： $$x\_{1}=+10101$$，$$x\_{2}=-10101$$，字长为8位，则其移码表示为:
>
> $$\begin{align} \[x\_{1}]*{移} &= 2^{7} + 10101\\&=10000000+10101 \\&= 1,0010101 \end{align}$$ $$\begin{align} \[x*{2}]\_{移} &= 2^{7} + (-10101)\\&=10000000+(-10101) \\&= 0,1101011 \end{align}$$
* 同一个数，补码和移码**只有符号位相反**
* 移码大真值就大，移码小真值就小
* 移码全为0：$$-2^n$$
* 移码全为1：$$2^n-1$$
* 移码的0唯一
## 2.2.2 定点数的运算
### 1、定点数的移位运算
对于r进制而言：
* 右移n位： $$\div r^{n}$$
* 左移n位： $$\times r^{n}$$
可以与加减法结合实现乘除法。
#### （1）算术移位
机器码采用有符号数，符号位不参与
* 正数
* 空位补0
* 负数
* 原码：0
* 补码：
* 左移：0
* 右移：1
* 反码：1
#### （2）逻辑移位
机器码采用**无符号数**，直接补0。
#### （3）循环移位
### 2、加减法
补码直接相加即可
> 例：设机器字长为8位（含一位符号位），A=15，B=-24，求 $$\[A+B]*{补}$$ 和$$\[A-B]*{补}$$
>
> 先求原码：
>
> $$A = +1111 = 0,1111 = 0, 0001111\ B= -11000 = 1,11000 = 1, 0011000$$
>
> 则可得补码：
>
> $$A = 0,0001111\ B = 1, 1101000$$
>
> 另外 $$\[-B]*{补}: \[B]*{补}$$ 连同符号位一起取反再+1
>
> 可得结果：
>
> $$\[A+B]*{补} = \[A]*{补} + \[B]*{补} = 0,0001111+1,1101000 = 1,1110111\ \[A-B]*{补} = \[A]*{补} + \[-B]*{补} = 0,0001111+0,0011000 = 0,0100111$$
### 3、溢出的概念和判断方式
* 大于机器所能表示的最大正数称为**上溢**；
* 小于机器所能表示的最小负数称为**下溢**。
* 当两个符号**相同**的数**相加**或者两个符号**相异**的数**相减**时才会发生溢出。
对溢出的判断有几种方式：
#### （一）采用一位符号位
设A的符号位为 $$A\_{S}$$ ，B的符号位为$$B\_{S}$$，运算结果的符号位为$$S\_{S}$$，则溢出的逻辑表达式为：
$$
V=A\_{\mathrm{S}} B\_{\mathrm{S}} \overline{S\_{\mathrm{S}}}+\overline{A\_{\mathrm{S}}} \overline{B\_{\mathrm{S}}} S\_{\mathrm{S}}
$$
* 若V=0，则无溢出
* 若V=1，则发生了溢出
#### （二）采用一位符号位根据数据位进位情况判断溢出
即“模2补码”
设符号位的进位 $$C\_{S}$$ ，最高数位的进位$$C\_{1}$$，则当$$C\_{S}$$和$$C\_{1}$$不同时发生溢出。
#### （三）采用双符号位
即“模4补码”
正数符号位为00，负数符号位为11。
记两个符号位分别为$$*{S1}$$和$$*{S2}$$，则 $$V=S\_{S1} \oplus S\_{S2}$$ ，若V=0，无溢出；V=1，有溢出。
* 00：正数无溢出
* 01：正数有溢出
* 11：负数无溢出
* 10：负数有溢出
{% hint style="warning" %}
模4补码存储时仍然为一个符号位，因为正确的表示两位符号位必然是相同的
当送入ALU时，才将原来的符号位同时送入ALU的双符号位中
{% endhint %}
### 4、定点数的乘法运算
#### （一）原码一位乘法
{% hint style="info" %}
* 符号位单独处理：乘数与被乘数异或
* 绝对值相乘
* ACC存放乘积高位，MQ存放乘数、乘积低位，X存放被乘数
* 每次看MQ中最低位
* 为1，ACC加上被乘数
* 为0，ACC加上0
* 每次运算后右移一位，高位补0
* 直到MQ仅剩原符号位，舍去不参与运算
* 小数点位于ACC第一位（乘积符号位）后
{% endhint %}
> 例：机器字长5位（含一位符号位），$$\[x]\_原$$=1.1101，$$\[y]\_原$$=0.1011，采用原码一位乘法求x\*y
>
> * 符号位：1$$\oplus$$0=1
> * 绝对值相乘
> * $$\[|x|]\_原$$=0.1101，$$\[|y|]\_原$$=0.1011
> * ACC=00000，X=01101，MQ=0101**1**
> * 1，ACC=0.0000+0.1101=0.1101
> * ACC=00110，MQ=1010**1**
> * 1，ACC=00110+01101=10011
> * ACC=01001，MQ=1101**0**
> * 0，ACC=01001
> * ACC=00100，MQ=1110**1**
> * 1，ACC=00100+01101=10001
> * ACC=01000，MQ=11110，MQ此时仅剩最后一位
> * 结果：0.10001111
> * 修改符号位：1.10001111
#### （二）补码一位乘法
{% hint style="info" %}
* 符号位参与运算
* 移位相加
* ACC存放乘积高位，X存放被乘数，采用双符号位补码
* MQ采用单符号位补码，最后一位为辅助位
* 每次看MQ中最低位与辅助位
* 辅助位-MQ最低位=1：$$(\text{ACC})+\[x]\_补$$
* 辅助位-MQ最低位=0：$$(\text{ACC})+0$$
* 辅助位-MQ最低位=-1：$$(\text{ACC})+\[-x]\_补$$
* 每次运算后右移一位
* 正数高位补0
* 负数高位补1
* 直到MQ仅剩原符号位，再做一次加法，不再移位得到结果
* 小数点位于ACC第二位（乘积符号位）后
{% endhint %}
> 例：机器字长5位（含一位符号位），$$\[x]\_原$$=-0.1101，$$\[y]\_原$$=+0.1011，采用booth算法求x\*y
>
> * $$\[x]\_补$$=11.0011，$$\[-x]\_补$$=00.1101，$$\[y]\_补$$=0.1101
> * ACC=00.0000，X=00.1101，MQ=0.101**1****0**
> * 0-1=-1，ACC=00.0000+00.1101=00.1101
> * ACC=00.0110，MQ=1.010**1****1**
> * 1-1=0，ACC=00.0110
> * ACC=00.0011，MQ=0.101**0****1**
> * 1-0=1，ACC=00.0011+11.0011=11.0110
> * ACC=11.1011，MQ=0.010**1****0**
> * 0-1=-1，ACC=11.1011+00.1101=00.1000
> * ACC=00.0100，MQ=0.001**0****1**，此时MQ仅剩最后一位原符号位
> * 1-0=1，ACC=00.0100+11.0011=11.0111
> * 结果：11.01110001
### 5、定点数除法运算
#### （一）原码恢复余数法
{% hint style="info" %}
* 符号位单独处理：除数与被除数异或
* 绝对值相除
* ACC存放被除数、余数，MQ存放商，X存放除数
* 每次先默认商1，ACC-除数
* 结果为负数，错误，商0，ACC+除数
* 结果为正数，ACC保持不变
* 每次运算后左移一位，低位补0
* 直到相应字长的商全部求出
* 小数点位于MQ第一位（商符号位）后
{% endhint %}
> 例：机器字长为5位（含一位符号位），x=0.1011，y=0.1101，采用原码恢复余数法求x/y
>
> * 符号位：0$$\oplus$$0=0
> * 绝对值相除
> * $$\[|x|]\_原$$=0.1011，$$\[|y|]\_原$$=0.1101，$$\[|y|]\_补$$=0.1101，$$\[-|y|]\_补$$=1.0011
> * ACC=01011，X=01101，MQ=00000
> * 商1，MQ=0000**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=01011+10011=**1**1110
> * 商0，MQ=0000**0**，ACC+=$$\[|y|]\_补$$=11110+01101=01011
> * ACC=10110，MQ=00000
> * 商1，MQ=0000**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=10110+10011=**0**1001
> * ACC=10010，MQ=00010
> * 商1，MQ=0001**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=10010+10011=**0**0101
> * ACC=01010，MQ=00110
> * 商1，MQ=0011**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=01010+10011=**1**1101
> * 商0，MQ=0011**0**，ACC+=$$\[|y|]\_补$$=11101+01101=01010
> * ACC=10100，MQ=01100
> * 商1，MQ=0110**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=10100+10011=**0**0111，此时五位商已经全部得到
> * 结果：01101
> * 加上符号位：0.1101
#### （二）原码加减交替法
**不恢复余数**
{% hint style="info" %}
与恢复余数法相比，当商1结果为负数时
* 直接将商置0
* ACC左移一位+|除数|：直接得到新余数
* 结果为正数：商直接置1
* 负数：继续
* 只有最后一位商0时需要恢复余数
{% endhint %}
> 例：机器字长为5位（含一位符号位），x=0.1011，y=0.1101，采用原码恢复余数法求x/y
>
> * 符号位：0$$\oplus$$0=0
> * 绝对值相除
> * $$\[|x|]\_原$$=0.1011，$$\[|y|]\_原$$=0.1101，$$\[|y|]\_补$$=0.1101，$$\[-|y|]\_补$$=1.0011
> * ACC=01011，X=01101，MQ=00000
> * 商1，MQ=0000**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=01011+10011=**1**1110
> * MQ=0000**0**，ACC=11100
> * ACC+=$$\[|y|]\_补$$=11100+01101=**0**1001，MQ=0000**1**
> * ACC=10010，MQ=00010
> * 商1，MQ=0001**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=10010+10011=**0**0101
> * ACC=01010，MQ=00110
> * 商1，MQ=0011**1**，ACC+=$$\[-|y|]\_补$$=01010+10011=**1**1101
> * MQ=0011**0**，ACC=11010
> * ACC+=$$\[|y|]\_补$$=11010+01101=**0**0111，MQ=0110**1**，此时五位商已经全部得到
> * 结果：01101
> * 加上符号位：0.1101
#### （三）补码加减交替法
{% hint style="info" %}
* 符号位参与运算
* 移位相加
* ACC、X，采用双符号位补码
* MQ采用单符号位补码，最后一位为辅助位
* 第一步
* 被除数与除数同号：ACC - 除数
* 被除数与除数异号：ACC + 除数
* 对比余数和除数（ACC和X）
* 同号：商1，余数左移一位 - 除数
* 异号：商0，余数左移一位 + 除数
* 最后一位的商恒置为1
{% endhint %}
> 例：机器字长5位（含一位符号位），$$\[x]\_原$$=+0.1000，$$\[y]\_原$$=-0.1011，采用补码加减交替法求x/y
>
> * $$\[x]\_补$$=00.1000，$$\[y]\_补$$=11.0101，$$\[-y]\_补$$=00.1011
> * ACC=00.1000，X=11.0101，MQ=0.0000
> * 异号，ACC+=$$\[y]\_补$$=00.1000+11.0101=11.1101
> * 同号，MQ=0000**1**，ACC=11.1010
> * ACC+=$$\[-y]\_补$$=11.1010+00.1011=00.0101
> * 异号，Q=0001**0**，ACC=00.1010
> * ACC+=$$\[y]\_补$$=00.1010+11.0101=11.1111
> * 同号，MQ=0010**1**，ACC=11.1110
> * ACC+=$$\[-y]\_补$$=11.1110+00.1011=00.1001
> * 异号，Q=0101**0**，ACC=01.0010
> * ACC+=$$\[y]\_补$$=01.0010+11.0101=00.0111
> * 最后一位固定为1
> * 结果：1.0101 余 0.0111$$\times2^4$$
## 2.2.3 整数型及类型转换
* 长整数变为短整数：0x000286a1 --> 0x86a1（截断高位）
* 短整数变为长整数：**符号扩展**
* 有符号数变为无符号数：0xef1f（真值-3421） --> 0xef1f（真值61215）
## 2.2.4 数据的存储和排列
### 1、大小端模式
都是对于多字节数据
* **大端**：类似正常阅读方式
* **小端**：倒过来
例：分别用大端和小端模式存储12345678H
### 2、边界对齐
