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# 2.3 浮点数的表示和运算

## 2.3.1 浮点数的表示

### 1、浮点数的表示

浮点数通常表示为：

$$
N = r^{E} \times M
$$

* r：阶码的底，通常为2
* E：**阶码**，反映浮点数的表示范围和小数点的实际位置，用**补码或移码**表示
* M：**尾数**，其位数反映了小数的精度，用**原码或补码**表示

> 例：阶码和尾数都用补码表示，求a、b的真值
>
> * a = 0,01; 1.1001
> * b = 0,01; 0.01001
>
> a：
>
> * 阶码0,01对应真值+1
> * 尾数0.1001对应真值-0.0111，也可看作-111右移四位： $$- \frac{7}{2^{4}}$$
> * 故 $$a = 2^{1} \times (-\frac{7}{2^{4}}) = - \frac{7}{8}$$
>
> b：
>
> * 阶码对应真值+1
> * 尾数0.01001对应真值+0.01001，也可看作+1001右移五位： $$+\frac{9}{2^{5}}$$
> * 故 $$b= 2^{1} \times \frac{9}{2^{5}} = \frac{9}{16}$$

### 2、浮点数的规格化

规定尾数的最高位必须是一个有效值。

**左规**：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1 ( 基数为2时)：

![](https://263180029-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MgTVRt7hyq7APa35yqR%2Fuploads%2Fgit-blob-2bd198c243ebdbbe0dced25bd3ee465f2be925cc%2F%E8%A7%84%E6%A0%BC%E5%8C%96.png?alt=media)

> 001; 00100(1)= $$2^{1} \times (+0.01001)$$ --> $$2^{0} \times (+0.10010)$$ = 000; 01001(0)

**右规**：当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，将尾数右移一位，阶码加1 (基数为2时)。

> 例：a=010; 00.1100；b = 010; 00.1000，求a+b
>
> $$a=2^{2}\times 00.1100\quad b=2^2\times00.1000\ \begin{align} a+b &= 2^{2} \times (00.1100 + 00.1000)\ &= 2^{2} \times 01.0100\quad(\text{发生溢出})\ &= 2^{3} \times 00.1010 \end{align}$$

规格化后的尾数满足： $$\frac{1}{r} \leq |M| \leq 1$$

**规格化的目的**：增加数据表示的精度

### 3、IEEE 754 标准

![](https://263180029-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-MgTVRt7hyq7APa35yqR%2F-MhrRrlaycHUZ_1JTXFw%2F-MhrUSx65P8v-fi9hNOf%2Fieee754.png?alt=media\&token=ab5ba710-668a-4e30-816e-d2aa65e5c65b)

尾数前隐含一位1

|   类型  |  数阶 |  阶码 | 尾数数值 | 总位数 |     偏置值    |
| :---: | :-: | :-: | :--: | :-: | :--------: |
|  短浮点数 |  1  |  8  |  23  |  32 |  7FH（127）  |
|  长浮点数 |  1  |  11 |  52  |  64 | 3FFH（1023） |
| 临时浮点数 |  1  |  15 |  64  |  80 |    3FFFH   |

* 规格化的短浮点数的真值为：$$(-1)^{S}\times 1.M \times 2^{E-127}$$ ；
* 规格化的长浮点数的真值为：$$(-1)^{S}\times 1.M \times 2^{E-1023}$$。

对于短浮点数而言，**偏置值取127**，此时阶码（移码）的表示范围为\*\*-126\~127\*\*：

|   真值   |     补码    |     移码    |
| :----: | :-------: | :-------: |
| -128\* | 1000 0000 | 1111 1111 |
| -127\* | 1000 0001 | 0000 0000 |
|  -126  | 1000 0010 | 0000 0001 |
|   ……   |     ……    |     ……    |
|    0   | 0000 0000 | 0111 1111 |
|   ……   |     ……    |     ……    |
|   127  | 0111 1111 | 1111 1110 |

-128和-127的作用：

* $$E = 0$$且$$M = 0$$，则真值为0；
* $$E = 0$$且$$M \neq 0$$ ，为非规格化数，真值 $$= (-1)^{S} \times 0.M \times 2^{-126}$$ ；
* $$E = 255$$且$$M \neq 0$$，真值为‘NaN’（非数值）；
* $$E = 255$$且$$M =0$$，真值为正或负无穷。

> 例：将 -0.75D 转换为IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

> * 将十进制转化为二进制
>   * $$-0.75 \text D=-0.11\text B$$
> * 将小数的高位变为1 （对应尾数隐含的1）
>   * $$-0.11 =-(1.1)\_2\times 2^{-1}$$
> * 数符：1
> * 尾数：取小数点后面部分，并补0
>   * .1000 0000 0000 0000 0000 000
> * 阶码：真值+偏移量
>   * $$(-1+127)\text D=126 \text D=0111 1110\text B$$
> * 结果：1 0111 1110 1000 0000 0000 0000 0000 000

> 例：IEEE 754的单精度浮点数 C0 A0 00 00 H的值是多少

> * 化为二进制
>   * 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
>   * 数符：1
>   * 阶码：1000 0001
>   * 尾数：0100 0000 0000 0000 0000 000
> * 尾数：加上隐含的1
>   * $$(1.01)\_2$$
> * 阶码
>   * 先看作无符号数：1000 0001B = 129D
>   * 移码-偏置值：129-127=2
> * 真值：$$-(1.01)*2\times 2^2=-(1.25)*{10}\times2^2=-5.0$$

## 2.3.2 浮点数的运算

### 1、加减运算

**步骤**：

1. 对阶
2. 尾数加减
3. 规格化
4. 舍入
5. 判溢出

> 例：已知十进制数$$X=-\frac{5}{256}$$、$$Y=+\frac{59}{1024}$$，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

> $$5D=101B,\frac{1}{256}=2^{-8}\ \begin{align} X&=-101\times2^{-8}\ &=-0.101\times2^{-5D} \ &=-0.101\times2^{-101} \end{align}$$
>
> * 阶码
>   * -101，补码为：1011
>   * 阶符取两位、阶码取三位：11011
> * 尾数
>   * -0.101，补码为1.011
>   * 数符取两位，尾数取九位：11.011000000
> * 可得X：11011；11.011000000
>
> 同理：$$59D=111011B,\frac{1}{1024}=2^{-10}\ \begin{align} Y&=+111011\times2^{-10}\ &=+0.111011\times2^{-4D} \ &=+0.111011\times2^{-100} \end{align}$$
>
> * 阶码
>   * -100，补码为1100
>   * 阶符取两位、阶码取三位：11100
> * 尾数
>   * +0.111011，补码为0.111011
>   * 数符取两位，尾数取九位：00.111011000

#### （1）对阶

使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1。

> $$\[\Delta E]\_{补}= 11011-11100=11011+00100=11111$$
>
> 11111为-1的补码，故 $$\Delta E = -1$$ ，X的阶码比Y的阶码小1
>
> 阶码每加1，尾数右移一位，则有新的X：11100；11.101100000（右移之后前面补1）
>
> 此时， $$X=-0.0101 \times 2^{-100}$$

#### （2）尾数相加减

> 首先有 -Y= 11100；11.000101000
>
> 尾数相加，得：
>
> $$\begin{array}{r} 11.101100000\ +11.000101000\ \hline 10.110001000 \end{array}$$
>
> 相当于提取公因式

#### （3）规格化

> 由于上一步发生了溢出，因此需要右规
>
> 尾数右移一位，阶码加1，得：X-Y=11101；11.011000100

#### （4）舍入

{% hint style="info" %}
**“0”舍“1”入法**：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去;被移去的最高数值位为1， 则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

**恒置“1”法**：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”， 都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。
{% endhint %}

无舍入

#### （5）判断溢出

未发生溢出

结果真值为 $$2^{-3}\times(-0.1001111)\_{2}$$

### 2、强制类型转换

|    数据类型   | 16位机器 | 32位机器 | 64位机器 |
| :-------: | :---: | :---: | :---: |
|    char   |   8   |   8   |   8   |
|   short   |   16  |   16  |   16  |
|    int    |   16  |   32  |   32  |
|    long   |   32  |   32  |   64  |
| long long |   64  |   64  |   64  |
|   float   |   16  |   32  |   32  |
|   double  |   64  |   64  |   64  |

char --> int --> long --> double 以及 float --> double，不会损失精度。

对于32位系统：

* int：表示整数，范围为 $$-2^{31} \sim 2^{31}-1$$，有效数字32位
* float：表示整数及小数，范围 $$\pm \[2^{-126}\sim2^{127}\times(2-2^{-23})]$$ ，有效数字23+1=24位
* int --> float：可能损失精度（有效数字比float多）
* float --> int：可能**溢出**（超出int表示范围）及损失精度（小数部分）