2.3 浮点数的表示和运算

2.3.1 浮点数的表示

1、浮点数的表示

浮点数通常表示为：

$$N = r^{E} \times M$$

• r：阶码的底，通常为2

• E：阶码，反映浮点数的表示范围和小数点的实际位置，用补码或移码表示

• M：尾数，其位数反映了小数的精度，用原码或补码表示

例：阶码和尾数都用补码表示，求a、b的真值

• a = 0,01; 1.1001

• b = 0,01; 0.01001

a：

• 阶码0,01对应真值+1

• 尾数0.1001对应真值-0.0111，也可看作-111右移四位： $- \frac{7}{2^{4}}$

• 故 $a = 2^{1} \times (-\frac{7}{2^{4}}) = - \frac{7}{8}$

b：

• 阶码对应真值+1

• 尾数0.01001对应真值+0.01001，也可看作+1001右移五位： $+\frac{9}{2^{5}}$

• 故 $b= 2^{1} \times \frac{9}{2^{5}} = \frac{9}{16}$

2、浮点数的规格化

规定尾数的最高位必须是一个有效值。

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1 ( 基数为2时)：

001; 00100(1)= $2^{1} \times (+0.01001)$ --> $2^{0} \times (+0.10010)$ = 000; 01001(0)

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，将尾数右移一位，阶码加1 (基数为2时)。

例：a=010; 00.1100；b = 010; 00.1000，求a+b

a=2^{2}\times 00.1100\quad b=2^2\times00.1000\\ \begin{align} a+b &= 2^{2} \times (00.1100 + 00.1000)\\ &= 2^{2} \times 01.0100\quad(\text{发生溢出})\\ &= 2^{3} \times 00.1010 \end{align}

规格化后的尾数满足： $\frac{1}{r} \leq |M| \leq 1$

规格化的目的：增加数据表示的精度

3、IEEE 754 标准

尾数前隐含一位1

类型	数阶	阶码	尾数数值	总位数	偏置值
短浮点数	1	8	23	32	7FH（127）
长浮点数	1	11	52	64	3FFH（1023）
临时浮点数	1	15	64	80	3FFFH

• 规格化的短浮点数的真值为：$(-1)^{S}\times 1.M \times 2^{E-127}$ ；

• 规格化的长浮点数的真值为：$(-1)^{S}\times 1.M \times 2^{E-1023}$。

对于短浮点数而言，偏置值取127，此时阶码（移码）的表示范围为**-126~127**：

真值	补码	移码
-128*	1000 0000	1111 1111
-127*	1000 0001	0000 0000
-126	1000 0010	0000 0001
……	……	……
0	0000 0000	0111 1111
……	……	……
127	0111 1111	1111 1110

-128和-127的作用：

• $E = 0$且$M = 0$，则真值为0；

• $E = 0$且$M \neq 0$ ，为非规格化数，真值 $= (-1)^{S} \times 0.M \times 2^{-126}$ ；

• $E = 255$且$M \neq 0$，真值为‘NaN’（非数值）；

• $E = 255$且$M =0$，真值为正或负无穷。

例：将 -0.75D 转换为IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

• 将十进制转化为二进制

  • $-0.75 \text D=-0.11\text B$

• 将小数的高位变为1 （对应尾数隐含的1）

  • $-0.11 =-(1.1)_2\times 2^{-1}$

• 数符：1

• 尾数：取小数点后面部分，并补0

  • .1000 0000 0000 0000 0000 000

• 阶码：真值+偏移量

  • $(-1+127)\text D=126 \text D=0111 1110\text B$

• 结果：1 0111 1110 1000 0000 0000 0000 0000 000

例：IEEE 754的单精度浮点数 C0 A0 00 00 H的值是多少

• 化为二进制

  • 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000

  • 数符：1

  • 阶码：1000 0001

  • 尾数：0100 0000 0000 0000 0000 000

• 尾数：加上隐含的1

  • $(1.01)_2$

• 阶码

  • 先看作无符号数：1000 0001B = 129D

  • 移码-偏置值：129-127=2

• 真值：$-(1.01)_2\times 2^2=-(1.25)_{10}\times2^2=-5.0$

2.3.2 浮点数的运算

1、加减运算

步骤：

1. 对阶

2. 尾数加减

3. 规格化

4. 舍入

5. 判溢出

例：已知十进制数$X=-\frac{5}{256}$、$Y=+\frac{59}{1024}$，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

5D=101B,\frac{1}{256}=2^{-8}\\ \begin{align} X&=-101\times2^{-8}\\ &=-0.101\times2^{-5D} \\ &=-0.101\times2^{-101} \end{align}

• 阶码

  • -101，补码为：1011

  • 阶符取两位、阶码取三位：11011

• 尾数

  • -0.101，补码为1.011

  • 数符取两位，尾数取九位：11.011000000

• 可得X：11011；11.011000000

同理：59D=111011B,\frac{1}{1024}=2^{-10}\\ \begin{align} Y&=+111011\times2^{-10}\\ &=+0.111011\times2^{-4D} \\ &=+0.111011\times2^{-100} \end{align}

• 阶码

  • -100，补码为1100

  • 阶符取两位、阶码取三位：11100

• 尾数

  • +0.111011，补码为0.111011

  • 数符取两位，尾数取九位：00.111011000

（1）对阶

使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1。

$[\Delta E]_{补}= 11011-11100=11011+00100=11111$

11111为-1的补码，故 $\Delta E = -1$ ，X的阶码比Y的阶码小1

阶码每加1，尾数右移一位，则有新的X：11100；11.101100000（右移之后前面补1）

此时， $X=-0.0101 \times 2^{-100}$

（2）尾数相加减

首先有 -Y= 11100；11.000101000

尾数相加，得：

$\begin{array}{r} 11.101100000\\ +11.000101000\\ \hline 10.110001000 \end{array}$

相当于提取公因式

（3）规格化

由于上一步发生了溢出，因此需要右规

尾数右移一位，阶码加1，得：X-Y=11101；11.011000100

（4）舍入

“0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去;被移去的最高数值位为1， 则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”， 都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

无舍入

（5）判断溢出

未发生溢出

结果真值为 $2^{-3}\times(-0.1001111)_{2}$

2、强制类型转换

数据类型	16位机器	32位机器	64位机器
char	8	8	8
short	16	16	16
int	16	32	32
long	32	32	64
long long	64	64	64
float	16	32	32
double	64	64	64

char --> int --> long --> double 以及 float --> double，不会损失精度。

对于32位系统：

• int：表示整数，范围为 $-2^{31} \sim 2^{31}-1$，有效数字32位

• float：表示整数及小数，范围 $\pm [2^{-126}\sim2^{127}\times(2-2^{-23})]$ ，有效数字23+1=24位

• int --> float：可能损失精度（有效数字比float多）

• float --> int：可能溢出（超出int表示范围）及损失精度（小数部分）