11.1 PGM简介

概率图模型（Probabilistic Graphical Models）

多元随机变量的条件独立性的概率模型

它的特点是结构预测，即输入输出是“序列→序列”的形式，是元素具有依赖约束的序列预测：

$$\hat{\boldsymbol y} = \arg\max\limits_{\boldsymbol y}p(\boldsymbol{y\vert x})\quad \boldsymbol y\in \mathcal Y, \vert\mathcal Y\vert很大$$

而传统分类问题，y的取值代表分类，只有有限的几个值，并且不是序列：

$$\hat y = \arg\max\limits_y p (y\vert x)\quad y\in\{1,-1\}$$

11.1.1 三大问题

• 表示：能够用模型去描述随机变量之间依赖关系

  • 联合概率：$P(X) = P(x_1,x_2,\dots,x_D)=P(X_O,X_H)$

  • 条件独立性：$\{x_i\}\perp \{x_j\}\vert\{x_n\}$

• 推断：给定观测数据，逆向推理，回答非确定性问题

  • 条件概率：用已知观测变量推测未知变量分布$P(X_H\vert X_O)$

• 学习：给定观测数据，学习最佳模型（结构、参数）

  • 联合概率最大化时的M参数：

$$\Theta^*=\arg\max\limits_\theta P(X\vert\theta)$$

一、表示

用图表示的概率分布

节点：表示随机变量/状态

边：表示概率关系

类型

• 有向概率图模型（贝叶斯网络）：因果关系

• 无向概率图模型（马尔可夫随机场）：关联关系

二、推断

如何根据模型和给定的数据回答问题？

用已知的变量推断未知变量的分布：

• 边缘概率：$p(x_i)$
• 最大后验概率：$y^*=\arg\max p(y\vert x_1,x_2,\dots,x_D)$

三、学习

• 参数学习：模型结构已知，求最佳参数

• 结构学习：变量间依赖关系未知，从数据中学习

$$\mathcal M^*=\arg\max\limits_{\mathcal M\in M} F(\mathcal D;\mathcal M)$$

两类概率图模型

附录：概率论相关知识