11.5 典型概率图模型

11.5.1 隐马尔科夫模型（HMM）

一、HMM的结构

• 状态节点：顶层节点表示隐含变量 $y_t$
• 输出节点：底层节点表示观测变量$x_t$

这里定义$x_t^j$表示观测变量在t时刻取j的概率，隐含变量同理

二、HMM的表示

假设隐含变量$y_t$的取值范围为状态空间$\{s_1,\dots,s_N\}$，观测变量$x_t$的取值范围为$\{o_1,\dots,o_M\}$，则有：

• 初始状态分布：隐含变量的初始概率分布

$$\boldsymbol \pi =(\pi_1,\dots,\pi_N),\quad\pi_i=P(y_1^i=1)$$

• 状态转移矩阵：大小为$N^2$

$$\boldsymbol A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots &a_{1N}\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} &\cdots & a_{iN}\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{N1} & \cdots & a_{Nj} & \cdots &a_{NN} \end{pmatrix}$$

其中

$$a_{ij} = P(y_{t+1}^j\mid y_t^i=1),\quad 1\leq i\leq N,1\leq j\leq N$$

表示t+1时刻从状态i变为状态j的概率

• 发射概率矩阵：大小为$N\times M$

$$\boldsymbol B = \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1j} & \cdots & b_{1M}\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ b_{i1} & \cdots & b_{ij} &\cdots & b_{iM}\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ b_{N1} & \cdots & b_{Nj} & \cdots & b_{NM} \end{pmatrix}$$

其中

$$b_{ij}=P(x_t^j=1\mid y_t^i=1),\quad 1\leq i\leq N,1\leq j\leq M$$

表示若t时刻隐含变量处于i状态，观测到变量为j状态的概率

因此，对于$(\boldsymbol{x,y})=(x_0,x_1,\dots,x_T,y_0,y_1\dots,y_T)$的联合概率，可以表示为：

$$\color{orange} p(x,y) = \color{green}p(y_1)\color{blue}\prod_{t=1}^{T-1}p(y_{t+1}\mid y_t)\color{red}\prod_{t=1}^Tp(x_t\mid y_t)$$